Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線x²=4y的焦點，離心率等于

2 5

5

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A，B兩點，交y軸于M點，若

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，求證λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

5

+y2=1，根據(jù)題意得：

b=1 e= c a = 2 5 5

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）橢圓C的右焦點F（2，0），根據(jù)題意可設(shè)l：y=k（x-2），則M（0，-2k），由

y=k(x-2) x2 5 +y2=1

得：（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0，由此利用根的判別式、韋達定理結(jié)合已知條件能證明λ₁+λ₂為定值．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，
它的一個頂點恰好是拋物線x²=4y的焦點，離心率等于

2 5

5

，
∴設(shè)橢圓方程為

x2

5

+y2=1，
根據(jù)題意得：

b=1 e= c a = 2 5 5

，
解得a²=5，b²=1，所以橢圓C的方程為：

x2

5

+y2=1．
（Ⅱ）證明：橢圓C的右焦點F（2，0），
根據(jù)題意可設(shè)l：y=k（x-2），則M（0，-2k），
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-2) x2 5 +y2=1

得：（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0，
所以

x1+x2= 20k2 1+5k2 x1x2= 20k2-5 1+5k2

，且△＞0，
由

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，得（x₁，y₁+2k）=λ₁（2-x₁，-y₁），
（x₂，y₂+2k）=λ₂（2-x₂，-y₂），
所以λ1=

x1

2-x1

，λ2=

x2

2-x2

，
所以λ1+λ2=

2(x1+x2)-2x1x2

4-2(x1+x2)+x1x2

=-10．
故λ₁+λ₂為定值．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩數(shù)和為定值的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．