(1)若直線l與過(guò)點(diǎn)P的切線垂直,求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)若直線l不過(guò)原點(diǎn)且與x軸交于點(diǎn)S,與y軸交于點(diǎn)T,試求的取值范圍
本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎(chǔ)知識(shí),求軌跡方程的方法,解析幾何的基本思想和綜合解題能力.
解:(1)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),依題意x1¹0,y1>0,y2>0. 由……①和y¢=x.∴ 過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率k切=x1,∴ 直線l的斜率,∴ 直線l的程為……② 方法一: 聯(lián)立①②消去y,. ∵ M是PQ的中點(diǎn) ∴ 消去x1,得,∴ PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為. 方法二: 由 得 則,∴ 將上式代入②并整理,得, ∴ PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為. (2)設(shè)直線l∶y=kx+b,依題得k¹0,b¹0,則T(0,b). 分別過(guò)P、Q作PP¢^x軸,QQ¢^y軸,垂足分別為P¢、Q¢,則 由消去x,得y2-2(k2+b)y+b2=0……③ 則 方法一: ∴ ∵ y1、y2可取一切不相等的正數(shù),∴ 的取值范圍是(2,+¥) 方法二: ∴ 當(dāng)b>0時(shí), 當(dāng)b<0時(shí),
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