Question

已知數(shù)列｛a_n｝滿足：a₁＝，且a_n＝

（1）  求數(shù)列｛a_n｝的通項(xiàng)公式；

（2）  證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a₁?a₂?……a_n<2?n！

Answer 1

解：（1）將條件變?yōu)椋?－＝，因此｛1－｝為一個等比數(shù)列，其首項(xiàng)為

1－，公比，從而1－＝，據(jù)此得a_n＝（n³1）…………1°

（2）證：據(jù)1°得，a₁?a₂?…a_n＝

為證a₁?a₂?……a_n<2?n！

只要證nÎN^*時有…………2°

顯然，左端每個因式都是正數(shù)，先證明，對每個nÎN^*，有

³1－（）…………3°

用數(shù)學(xué)歸納法證明3°式：

（i）n＝1時，3°式顯然成立，

（ii）  設(shè)n＝k時，3°式成立，

即³1－（）

則當(dāng)n＝k＋1時，

³〔1－（）〕?（）

＝1－（）－（）

³1－（）即當(dāng)n＝k＋1時，3°式也成立。

故對一切nÎN^*，3°式都成立。

利用3°得，³1－（）＝1－

＝1－=>

故2°式成立，從而結(jié)論成立。