Question

4．定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：（1）f（2x）=2f（x）；（2）當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f（x）=1-|x-3|．則集合A={x|f（x）=f（61）}中的最小元素是（　�。�

• A． 13
• B． 11
• C． 9
• D． 6

Answer 1

分析 根據(jù)各分段的函數(shù)解析式可以歸納出：x∈[2ⁿ，2ⁿ⁺¹]時(shí)，f（x）=2^n-1-|x-3•2^n-1|，再結(jié)合函數(shù)圖象解出f（x）=f（61）的最小的x．

解答 解：因?yàn)閤∈[2，4]時(shí)，f（x）=1-|x-3|，其值域?yàn)閇0，1]，且先增后減，所以，
x∈[4，8]時(shí)，f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2[1-|$\frac{x}{2}$-3|]=2-|x-6|，值域?yàn)閇0，2]，
x∈[8，16]時(shí)，f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2[2-|$\frac{x}{2}$-6|]=4-|x-12|，值域?yàn)閇0，4]，
x∈[16，32]時(shí)，f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2[4-|$\frac{x}{2}$-12|]=8-|x-24|，值域?yàn)閇0，8]，
x∈[32，64]時(shí)，f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2[8-|$\frac{x}{2}$-24|]=16-|x-48|，值域?yàn)閇0，16]，
…，
一般地，x∈[2ⁿ，2ⁿ⁺¹]時(shí)，f（x）=2^n-1-|x-3•2^n-1|，值域?yàn)閇0，2^n-1]．
而61∈[2⁵，2⁶]，即n=5，所以，f（61）=16-|61-48|=3，
由于f（x）=f（61）=3，要使x最小，可設(shè)x∈[3，8]，
即令4-|x-12|=3，解得x=11或13，
所以，滿(mǎn)足f（x）=f（61）的最小x的值為11．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，涉及分段函數(shù)解析式的求法和函數(shù)值的確定，運(yùn)用了歸納推理題的解題思想，屬于中檔題．