Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sinx+

3

cosx+1．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]的最大值與最小值；
（2）若實(shí)數(shù)a，b，c使得af（x）+bf（x-c）=1對(duì)任意x∈R恒成立，求

bcosc

a

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：常規(guī)題型,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先把函數(shù)f（x）=sinx+

3

cosx+1化成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后再求最值；
（2）代入f（x）整理，化成標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)對(duì)任意x∈R恒成立，讓系數(shù)等于0，求得

bcosc

a

的值．

解答： 解：（1）f（x）=sinx+

3

cosx+1
=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）+1
=2sin（x+

π

3

）+1
∵x∈[0，

π

2

]，∴x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]
∴

1

2

≤sin（x+

π

3

）≤1，∴2≤2sin（x+

π

3

）+1≤3
∴函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]的最大值為3；最小值為2．
（2）af（x）+bf（x-c）=a[2sin（x+

π

3

）+1]+b[2sin（x+

π

3

-c）+1]=1
2asin（x+

π

3

）+2bsin（x+

π

3

-c）=1-a-b
2asin（x+

π

3

）+2bsin（x+

π

3

）cosc-2bcos（x+

π

3

）sinc=1-a-b
（2a+2bcosc）sin（x+

π

3

）-（cos（x+

π

3

）=1-a-b

(2a+2bcosc)2+(2bsinc)2

sin（x+

π

3

+φ）=1-a-b
因?yàn)樯鲜綄?duì)一切的x恒成立，所以

(2a+2bcosc)2+(2bsinc)2

=0
∴

2a+2bcosc=0 2bsinc=0

∴由2a+2bcosc=0得：

bcosc

a

=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及恒成立問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是化成三角函數(shù)的標(biāo)形式．