Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+bx+1

x+a

是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）在[

1

2

，2]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）=

x2+bx+1

x+a

是奇函數(shù)，故f（0）=

1

a

=0，從而求出a，b的值；
（2）由（1）求出函數(shù)表達(dá)式f（x）=

x2+1

x

，即可求出單調(diào)區(qū)間．
（3）根據(jù)（2）f（x）在[

1

2

，2]上的單調(diào)性即可求出值域．

解答： 解：（1）f（x）=

x2+bx+1

x+a

，
∵函數(shù)為奇函數(shù)，且定義域為R
∴f（0）=

1

a

=0
∴a=0
∵f（-x）=

x2-bx+1

a-x

=-

x2+bx+1

x+a

=-f（x），
∴x²-bx+1=x²+bx+1
∴b=0
∴a=b=0．
（2）由（1）得f（x）=

x2+1

x

設(shè)x₁，x₂屬于（0，+∞） x₁＜x₂
f（x1）-f（x2）=

x12+1

x1

-

x22+1

x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1×x2

．
x₁-x₂＜0 x₁x₂＞0
①在（0，1]上 x₁x₂＜1 所以 x₁x₂-1＜0 所以單調(diào)遞減
②在（1，+∞）上 x₁x₂＞1 所以 x₁x₂-1＞0 所以單調(diào)遞增
同理（-1，0）單調(diào)遞減 （-∞，-1）單調(diào)遞增
∴函數(shù)在（-∞，-1）及（1，+∞）上為增函數(shù)，在[-1，0）和（0，1]上為減函數(shù)．
（3）f（

1

2

）=

5

2

，f（1）=2，f（2）=

5

2

，
在[

1

2

，1]上f（x）減函數(shù)，[1，2]上f（x）為增函數(shù)，故可知f（x）在[

1

2

，2]上最大值為

5

2

，最小值為2，
故值域為[2，

5

2

]．

點(diǎn)評：本題主要考察了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明、函數(shù)的值域的求法、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題．