Question

7．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，其中a∈R．
（1）當a=2時，求函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）如果對于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞-x-2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=2時，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可．

解答 （1）解：當a=2時，由已知得$f（x）=lnx-\frac{2}{x}$，
故$f'（x）=\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}$，…（2分）
所以f'（1）=1+2=3，又因為$f（1）=ln1-\frac{2}{1}=-2$，
所以函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=3（x-1），
即3x-y-5=0；…（5分）
（2）解：由f（x）＞-x+2，
得$lnx-\frac{a}{x}＞-x+2$，又x∈（1，+∞），
故a＜xlnx+x²-2x．                    …（7分）
設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx+x²-2x，
則$g'（x）=lnx+x•\frac{1}{x}+2x-2=lnx+2x-1$． …．…..…（8分）
因為x∈（1，+∞），
所以lnx＞0，2x-1＞0，
所以當x∈（1，+∞）時，g'（x）=lnx+2x-1＞0，…（10分）
故函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
所以當x∈（1，+∞）時，g（x）＞g（1）=1×ln1+1-2×1=-1．…（12分）
因為對于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞-x-2成立，
所以對于任意x∈（1，+∞），都有a＜g（x）成立．
所以a≤-1．                   …..…（14分）

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及不等式恒成立問題，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．