已知函數(shù)f(x)=-3x-x3,x∈R,若θ∈[0,
π
2
]
時(shí),不等式f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)<0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
m>4-2
2
m>4-2
2
分析:判斷f(x)為奇函數(shù),在R上為減函數(shù),原不等式可化為f(cos2θ-3)<f(2mcosθ-4m),即cos2θ-3>2mcosθ-4m,令t=cosθ,原不等式可轉(zhuǎn)化為t∈[-1,1]時(shí),是否存在m∈R,使得g(t)=t2-mt+2m-2>0恒成立,將m分離出來利用基本不等式即可求出m的取值范圍.
解答:解:函數(shù)f(x)=-3x-x3,故f(-x)=3x-(-x)3=-f(x),
∴f(x)為奇函數(shù),
∵f′(x)=-3-3x2<0,
∴f(x)在R上為減函數(shù),
所以原不等式可化為f(cos2θ-3)<f(2mcosθ-4m),
∴cos2θ-3>2mcosθ-4m,即cos2θ-mcosθ+2m-2>0.
令t=cosθ,則原不等式可轉(zhuǎn)化為:當(dāng)t∈[-1,1]時(shí),是否存在m∈R,使得g(t)=t2-mt+2m-2>0恒成立.
由t2-mt+2m-2>0,t∈[-1,1],得m>t-2+
2
t-2
+4,t∈[-1,1]時(shí),
令h(t)=(2-t)+
2
2-t
≥2
2
,即當(dāng)且僅當(dāng)t=2-
2
時(shí),h(t)min=2
2

故m>(t-2+
2
t-2
+4)max=4-2
2

故答案為:m>4-2
2
點(diǎn)評:本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,以及利用基本不等式求最值,同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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