Question

2．已知橢圓的長軸長為6，焦距為$4\sqrt{2}$，求橢圓的標準方程．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的標準方程，由橢圓的長軸長為6，焦距為$4\sqrt{2}$，分別求出a，b，c，由此能求出橢圓的標準方程．

解答 解：當焦點在x軸時，設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵橢圓的長軸長為6，焦距為$4\sqrt{2}$，
∴a=3，c=2$\sqrt{2}$，b²=9-8=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$．
當焦點在y軸時，設(shè)橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），
∵橢圓的長軸長為6，焦距為$4\sqrt{2}$，
∴a=3，c=2$\sqrt{2}$，b²=9-8=1，
∴橢圓方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
故橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$或${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用，易錯點是容易忽視焦點在y軸上的橢圓方程．