Question

用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[-2.5]=-3，[2.5]=2，設(shè)函數(shù)f（x）=[x[x]]．
（1）f（3.6）=

 

；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域是[0，n），n∈N⁺，則其值域中元素個(gè)數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值,元素與集合關(guān)系的判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：本題（1）利用取整函數(shù)的規(guī)定，求出[3.6]的值，再求出[3.6[3.6]]的值，得到本題結(jié)論；（2）利用取整函數(shù)的規(guī)定，根據(jù)x∈[0，n），找出其函數(shù)值的取值規(guī)律，求出值域中元素個(gè)數(shù)，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=[x[x]]，
∴f（3.6）=[3.6[3.6]]=[3.6×3]=[10.8]=10．
（2）∵函數(shù)f（x）的定義域是[0，n），n∈N⁺，
∴當(dāng)0≤x＜1時(shí)，[x]=0，f（x）=[x[x]]=[x×0]=[0]=0，函數(shù)值有1個(gè)，
當(dāng)1≤x＜2時(shí)，[x]=1，f（x）=[x[x]]=[x×1]=[x]=1，函數(shù)值有1個(gè)，
當(dāng)2≤x＜3時(shí)，4≤2x＜6
[x]=2，f（x）=[x[x]]=[x×2]=[2x]，能取到4，5，函數(shù)值有2個(gè)，
當(dāng)3≤x＜4時(shí)，9≤3x＜12，
[x]=3，f（x）=[x[x]]=[x×3]=[3x]，能取到9，10，11，函數(shù)值有3個(gè)，
當(dāng)4≤x＜5時(shí)，16≤4x＜20，
[x]=4，f（x）=[x[x]]=[x×4]=[4x]，能取到16，17，18，19，函數(shù)值有4個(gè)，
…
當(dāng)n-1≤x＜n時(shí)，（n-1）²≤（n-1）x＜n（n-1），
[x]=n-1，f（x）=[x[x]]=[x×（n-1）]=[（n-1）x]，能取到（n-1）²，（n-1）²+1，（n-1）²+2，…，n（n-1）-1，函數(shù)值有n-1個(gè)，
∴值域中元素個(gè)數(shù)為：1+1+2+3+…+（n-1）=

n2-n+2

2

．
故答案為：

n2-n+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了取整函數(shù)的定義及其應(yīng)用，本題有一定的難度，屬于中檔題．