Question

已知函數(shù)f（x）=21nx與g（x）=a²x²+ax+1（a＞0）．
（1）設(shè)直線x=l與曲線y=f（x）和y=g（x）分別相交于點(diǎn)P，Q且曲線y=f（x）和y=g（x）在點(diǎn)P，Q處的切線平行，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若對于任意的x∈（0，+∞），e

1

f′(x)

-mx≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出f′（1），再利用曲線y=f（x）和y=g（x）在點(diǎn)P，Q處的切線平行，可得f′（1）=g′（1），從而可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）先分離參數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)求最值，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）∵f′（x）=

2

x

，∴f′（1）=2，
∵g′（x）=2a²x+a，曲線y=f（x）和y=g（x）在點(diǎn)P，Q處的切線平行，
∴g′（1）=2
∴2a²+a=2
∴a=

-1±2 5

4

∵a＞0，∴a=

-1+2 5

4

；
（2）∵f′（x）=

2

x

，∴e

1

f′(x)

-mx≥0等價(jià)于e

x

2

-mx≥0
∵x＞0，∴m≤

e x 2

x

構(gòu)造函數(shù)g（x）=

e x 2

x

，則g′(x)=

e x 2 ( x 2 -1)

x2

當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)減；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)增
∴x=2時(shí)，函數(shù)g（x）=

e x 2

x

取得最小值

e

2

∴對于任意的x∈（0，+∞），e

1

f′(x)

-mx≥0恒成立時(shí)，m≤

e

2

∴實(shí)數(shù)m的最大值為

e

2

．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最值．