Question

（2008•河西區(qū)三模）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=

9

8

an-

1

8

•3n+1+

3

8

(n∈N*)
（1）求首項(xiàng)a₁與通項(xiàng)a_n；
（2）設(shè)Tn=

3n

Sn

，求

lim

n→∞

（T₁+T₂+T₃+…+T_n）．

Answer 1

分析：（1）令n=1可求得a₁，由已知可得Sn=

9

8

(Sn-Sn-1)-

1

8

•3n+1+

3

8

，整理可得Sn+

1

2

•3n+1-

3

8

=9(Sn-1+

1

2

•3n-

3

8

)①，則Sn+1+

1

2

•3n+2-

3

8

=9(Sn+

1

2

•3n+1-

3

8

)②，兩式相減得an+1+3n+1=9(an+3n)，由此可判斷{an+3n}是首項(xiàng)為9，公比為9的等比數(shù)列，可求an+3n，于是得到a_n；
（2）由（1）可求得Sn=

9

8

(9n-3n)-

1

8

•3n+1+

3

8

，代入得T_n，進(jìn)行化簡(jiǎn)變形拆項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法可求得T₁+T₂+T₃+…+T_n，然后取極限即可；

解答：解：（1）由a1=

9

8

a1-

1

8

•32+

3

8

，得a₁=6，
由S_n-S_n-1=a_n（n=2，3，…），代入得Sn=

9

8

(Sn-Sn-1)-

1

8

•3n+1+

3

8

，

1

8

Sn=

9

8

sn-1+

1

8

•3n+1-

3

8

，
Sn=9Sn-1+3n+1-3，
于是Sn+

1

2

•3n+1-

3

8

=9(Sn-1+

1

2

•3n-

3

8

)①，
∴{Sn+

1

2

•3n+1-

3

8

}是等比數(shù)列，
∴Sn+1+

1

2

•3n+2-

3

8

=9(Sn+

1

2

•3n+1-

3

8

)②，
②-①得an+1+3n+1=9(an+3n)，
∴{an+3n}是首項(xiàng)為9，公比為9的等比數(shù)列，
∴an+3n=9•9n-1=9n，
∴an=9n-3n（n∈N^*）；
（2）由（1）可求得Sn=

9

8

(9n-3n)-

1

8

•3n+1+

3

8

，
所以Tn=

3n

Sn

=

3n

9 8 (9n-3n)- 1 8 •3n+1+ 3 8

=

8

9

•

3n

9n-3n-3n-1+ 1 3

=

8

9

•

3n

9n- 4 3 •3n+ 1 3

=

8

3

•

3n

3•9n-4•3n+1

=

8

3

•

3n

(3n-1)•(3•3n-1)

=

8

3

•

3n

(3n-1)(3n+1-1)

=

8

3

•

1

2

•(

1

3n-1

-

1

3n+1-1

)=

4

3

(

1

3n-1

-

1

3n+1-1

)
∴

lim

n→∞

(T1+T2+…+Tn)=

lim

n→∞

[

4

3

•(

1

2

-

1

32-1

+

1

32-1

-

1

33-1

+…-

1

3n+1-1

)]=

2

3

；

點(diǎn)評(píng)：本題考查由遞推式求通項(xiàng)即裂項(xiàng)相消法對(duì)數(shù)列求和，考查數(shù)列極限的求法，運(yùn)算量較大．