Question

定義在[1，64]上的函數(shù)f（x）=log₂x-1，函數(shù)g（x）=-f²（x）+f（x³）
（1）求函數(shù)g（x）的定義域；
（2）求函數(shù)g（x）的最值以及取最值時相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（1）由已知條件可得

1≤x≤64 1≤x3≤64

，求出x的范圍，即可得到函數(shù)的定義域．
（2）先由條件求得g（x）的解析式為-lo

g

2 2

x+5log2x-2=-(u-

5

2

)2+

17

4

=?(u)，x∈[1，4]，u=log₂x∈[0，2]，故?（u）在[0，2]上單調(diào)遞增，由此利用二次函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)g（x）的最值以及取最值時相應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）由已知條件可得

1≤x≤64 1≤x3≤64

，可得1≤x≤4，故函數(shù)g（x）的定義域為[1，4]．…（4分）
（2）∵g(x)=-(log2x-1)2+log2x3-1=-lo

g

2 2

x+5log2x-2=-u2+5u-2=-(u-

5

2

)2+

17

4

=?(u)，x∈[1，4]，u=log₂x∈[0，2]，
∴?（u）在[0，2]上單調(diào)遞增．
當(dāng)u=log₂x=0，即x=1時，g_min（x）=?（0）=-2；
當(dāng)u=log₂x=2，即x=4時，g_max（x）=?（2）=4．…（10分）

點評：本題主要考查求函數(shù)的定義域，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，屬于中檔題．