Question

如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2，DE=1．
（Ⅰ）求異面直線EF與BC所成角的大��；
（Ⅱ）若二面角A-BF-D的平面角的余弦值為

1

3

，求CF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）延長AD，F(xiàn)E交于Q，由已知得∠AQF是異面直線EF與BC所成的角，由此能求出異面直線EF與BC所成角．
（Ⅱ）設(shè)AB=x．取AF的中點(diǎn)G．由題意得DG⊥AF，AB⊥DG，CD⊥DF，從而DG⊥平面ABF．過G作GH⊥BF，垂足為H，連接DH，則∠DHG為二面角A-BF-D的平面角．由此能求出CF．

解答： 解：（Ⅰ）延長AD，F(xiàn)E交于Q．
∵ABCD是矩形，∴BC∥AD，
∴∠AQF是異面直線EF與BC所成的角．
在梯形ADEF中，由DE∥AF，AF⊥FE，AF=2，DE=1，
得∠AQF=30°．
即異面直線EF與BC所成角為30°．
（Ⅱ）設(shè)AB=x．取AF的中點(diǎn)G．由題意得DG⊥AF．
∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADEF，∴AB⊥DG．
∵ABCD為矩形，∴CD⊥DF，
∴DG⊥平面ABF．
過G作GH⊥BF，垂足為H，連接DH，則DH⊥BF，
∴∠DHG為二面角A-BF-D的平面角．
在直角△AGD中，AD=2，AG=1，得DG=

3

．
在直角△BAF中，由

AB

BF

=sin∠AFB=

GH

FG

，得

GH

x

=

1

x2+4

，
∴GH=

x

x2+4

．
在直角△DGH中，DG=

3

，GH=

x

x2+4

，得DH=2

x2+3 x2+4

．
∵cos∠DHG=

GH

DH

=

1

3

，得x=

2

5

15

，
∴AB=

2

5

15

．
∵AF⊥FE，AF=AD=2，DE=1，
∴AF=AD=DF=2，
∴CF=

CD2+DF2

=

60 25 +4

=

4 10

5

．

點(diǎn)評：本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查線段長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．