Question

定義在R上的函數(shù)f（x），其周期為4，且當(dāng)x∈[-1，3]時(shí)，f（x）=

1-x2      x∈[-1，1] 1-|x-2|   x∈(1，3]

，若函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范是（　�。�

• A、（-

  2

  4

  ，-

  1

  5

  ）
• B、（

  6

  12

  ，

  1

  3

  ）
• C、（-

  2

  4

  ，-

  1

  5

  ）∪（

  6

  12

  ，

  1

  3

  ）
• D、（

  1

  5

  ，

  1

  3

  ）∪（-

  1

  3

  ，-

  1

  5

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的周期性作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：由g（x）=f（x）-kx-k=0
得f（x）=kx+k=k（x+1），
設(shè)y=h（x）=k（x+1），則直線h（x）過點(diǎn)（-1，0），
∵函數(shù)f（x）的周期是4，
∴作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
①若直線斜率k=0時(shí)，不滿足條件，
②若k＞0，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）時(shí)，此時(shí)直線和函數(shù)f（x）有3個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)由3k=1，解得k=

1

3

，
當(dāng)直線在B處與半圓相切時(shí)，直線和函數(shù)f（x）有5個(gè)不同的交點(diǎn)，
此時(shí)圓心（4，0）到直線kx-y+k=0的距離d=

|4k+k|

1+k2

=1，
即|5k|=

1+k2

，解得k=

6

12

，此時(shí)若滿足條件，則

6

12

＜k＜

1

3

，
③若k＜0，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)D（-6，1）時(shí)，此時(shí)直線和函數(shù)f（x）有5個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)由-5k=1，解得k=-

1

5

，
當(dāng)直線在C處與半圓相切時(shí)，直線和函數(shù)f（x）有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
此時(shí)圓心（-4，0）到直線kx-y+k=0的距離d=

|-4k+k|

1+k2

=

|3k|

1+k2

=1，
即|3k|=

1+k2

，解得k=-

2

4

，此時(shí)若滿足條件，則-

2

4

＜x＜-

1

5

，
綜上k∈（-

2

4

，-

1

5

）∪（

6

12

，

1

3

），
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)和方程的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．