Question

已知a為實常數(shù)，y=f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，f(x)=2x－+1．

（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若f(x)≥a－1對一切x＞0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

已知a為實常數(shù)，y=f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，f(x)=2x－+1．（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若f(x)≥a－1對一切x＞0成立，求a的取值范圍．

（1）解：由奇函數(shù)的對稱性可知，我們只要討論f(x)在區(qū)間(－∞，0)的單調(diào)性即可．

f ′(x)＝2＋，令f ′(x)＝0，得x＝－a． ………………………2分

①當(dāng)a≤0時，f ′(x)＞0，故f(x)在區(qū)間(－∞，0)是單調(diào)遞增．  ……………………… 4分

②當(dāng)a＞0時，x ∈(－∞，－a )，f ′(x)＞0，所以f(x)在區(qū)間(－∞，－a )是單調(diào)遞增．

x ∈(－a，0)，f ′(x)＜0，所以f(x)在區(qū)間(－a，0)是單調(diào)減．……………………… 6分

綜上所述：當(dāng)a≤0時，f(x)單調(diào)增區(qū)間為(－∞，0)，(0，+∞)；當(dāng)a＞0時，f(x)單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－a )，(a ，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(－a，0)，(0，a)．

（2）解：因為f(x)為奇函數(shù)，所以當(dāng)x＞0時，f(x)＝－f(－x)＝－(－2 x－＋1)＝2x＋ －1．… 9分

①當(dāng)a＜0時，要使f(x)≥a－1對一切x＞0成立，即2x＋ ≥a對一切x＞0成立．

而當(dāng)x＝－＞0時，有－a+4a≥a，所以a≥0，則與a＜0矛盾．所以a＜0不成立． ②當(dāng)a＝0時，f(x)＝2x－1＞－1=a－1對一切x＞0成立，故a＝0滿足題設(shè)要求．

③當(dāng)a＞0時，由(1)可知f(x)在(0，a)是減函數(shù)，在(a ，+∞)是增函數(shù)．

所以fmin(x)=f(a)＝3a－1＞a－1，所以a＞0時也滿足題設(shè)要求．  

綜上所述，a的取值范圍是．