【題目】已知動圓過定點P(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8.

(1)求動圓圓心C的軌跡方程;

(2)過點(2,0)的直線l與動圓圓心C的軌跡交于A,B兩點,求證:是一個定值.

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）設圓心的坐標為，得出，代入點的坐標，即可得到曲線C的軌跡方程；

（2）設直線方程，聯(lián)立方程組，得到，再向量的數(shù)量積的運算，即可得到結論.

(1)設動圓的圓心C(x,y),線段MN的中點為T,則|MT|==4.

由題意得|CP|2=|CM|2=|MT|2+|TC|2,∴y2+(x-4)2=42+x2,∴y2=8x,

即動圓圓心C的軌跡方程為y2=8x.

(2)證明:易知直線l的斜率不為0,

設直線l的方程為x=ky+2,A(x1,y1),B(x2,y2).

聯(lián)立消去x整理得y2-8ky-16=0,Δ=64k2+64>0,可得y1+y2=8k,y1y2=-16.

又=(x1,y1),=(x2,y2),

∴·=x1x2+y1y2=(ky1+2)(ky2+2)+y1y2=k2y1y2+2k(y1+y2)+4+y1y2=-16k2+16k2+4-16=-12,

∴·是一個定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某個體服裝店經營某種服裝，該服裝店每天所獲利潤y(元)與每天售出這種服裝件數(shù)x之間的一組數(shù)據關系如下表：

x

3

4

5

6

7

8

9

y

66

69

74

81

89

90

91

(1)求利潤y與每天售出件數(shù)x之間的回歸方程 (回歸直線的斜率用分數(shù)表示)．

(2)若該服裝店某天銷售服裝13件，估計可獲利潤多少元？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，江的兩岸可近似的看成兩平行的直線，江岸的一側有A，B兩個蔬菜基地，江的另一側點C處有一個超市．已知A、B、C中任意兩點間的距離為20千米．超市欲在AB之間建一個運輸中轉站D，A，B兩處的蔬菜運抵D處后，再統(tǒng)一經過貨輪運抵C處．由于A，B兩處蔬菜的差異，這兩處的運輸費用也不同．如果從A處出發(fā)的運輸費為每千米2元，從B處出發(fā)的運輸費為每千米1元，貨輪的運輸費為每千米3元．

（1）設∠ADC=α，試將運輸總費用S（單位：元）表示為α的函數(shù)S（α），并寫出自變量的取值范圍；
（2）問中轉站D建在何處時，運輸總費用S最小？并求出最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在極坐標系中，設直線過點A（ ， ），B（3， ），且直線與曲線C：ρ=2rsinθ（r＞0）有且只有一個公共點，求實數(shù)r的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知恒等式（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n ．
（1）求a1+a2+a3+…+a2n和a2+2a3+22a4+…+22n﹣2a2n的值；
（2）當n≥6時，求證： a2+2A a3+…+22n﹣2 a2n＜49n﹣2 ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD=2AB=2BC，M，N分別是棱PA，CD的中點．

（1）求證：PC∥平面BMN；
（2）求證：平面BMN⊥平面PAC．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)f（x）=xex﹣asinxcosx（a∈R，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）當a=0時，求f（x）的極值；
（2）若對于任意的x∈[0， ]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間 上有兩個零點？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，其前項和為，

且，

(1)求數(shù)列的通項公式．

(2)設數(shù)列滿足，

①求數(shù)列的通項公式；

②是否存在正整數(shù)，使得，，成等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù)，函數(shù) ，若對所有的總存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是__________．

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