Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，PA垂直△ABC所在的平面，PC與△ABC所在的平面成30°角，點(diǎn)D在線段PC上，點(diǎn)E在線段BC上．
（Ⅰ）若AD⊥PC，求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）若PD：PC=1：4，EC：BC=1：4，求二面角B-AD-E的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出PA⊥AB，AB⊥PC，由此能夠證明PC⊥面ABD，從而得到BD⊥PC．
（Ⅱ）由題意分別以AB，AC，AP為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-AD-E的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，
又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
又∵AB∩AC=A，∴AB⊥面PAC，∴AB⊥PC，
∵AD⊥PC，AB∩AD=A，∴PC⊥面ABD，
∴BD⊥PC．
（Ⅱ）解：由題意分別以AB，AC，AP為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
令A(yù)C=2AB=2，則由已知條件得：
A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），
P（0，0，

2

3

），D（0，

1

2

，

3

2

），E（

1

4

，

3

2

，0），
∴

AB

=(1，0，0)，

AD

=(0，

1

2

，

3

2

)，

AE

=(

1

4

，

3

2

，0)，
設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量

n

=(x，y，z)，
則

n

•

AB

=0，

n

•

AD

=0，
∴

x=0 1 2 y+ 3 2 z=0

，
取y=

3

，得z=-1，
∴

n

=(0，

3

，-1)，
設(shè)平面ADE的法向量

m

=(x1，y1，z1)，則

m

•

AD

=0，

m

•

AE

=0，
∴

1 2 y2+ 3 2 z2=0 1 4 x2+ 3 2 y2=0

，取x₂=-6

3

，得y₂=

3

，z₂=-1，
∴

m

=（-6

3

，

3

，-1），
∵cos＜

m

，

n

＞=

0×6 3 + 3 × 3 +(-1)×(-1)

2×4 7

=

7

14

，
∴二面角B-AD-E的余弦值為

7

14

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．