Question

下列命題中：
①“若x²+y²≠0，則x，y不全為零”的否命題；
②“若m＞0，則x²+x-m=0有實(shí)根”的逆否命題；
③若過(guò)定點(diǎn)M（-1，0）且斜率為k的直線(xiàn)與圓x²+4x+y²-5=0在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn)，則k的取值范圍是0≤k≤

5

；
④已知二面角α-l-β的平面角的大小是60°，P∈α，Q∈β，R是直線(xiàn)l上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P與Q作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足分別為P₁，Q₁，且|PP₁|=2，|QQ₁|=3，|P₁Q₁|=5，則|PR|+|QR|的最小值為5

2

；
以上命題正確的為

 

（把所有正確的命題序號(hào)寫(xiě)在答題卷上）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓,空間角,簡(jiǎn)易邏輯

分析：①寫(xiě)出否命題后再判定其真假；
②判定原命題的真假，從而得出它的逆否命題的真假性；
③畫(huà)出圖形，求出直線(xiàn)與圓在第一象限內(nèi)有交點(diǎn)的k的取值范圍即可；
④畫(huà)出圖形，根據(jù)圖形得出點(diǎn)R在P₁Q₁上時(shí)|PR|+|QR|取到最小值，利用函數(shù)求出最小值即可．

解答： 解：①“若x²+y²≠0，則x，y不全為零”的否命題是“若x²+y²=0，則x=y=0”，它是真命題；
②當(dāng)m＞0時(shí)，關(guān)于x的方程x²+x-m=0的判別式△=1+4m＞0，
∴方程有實(shí)根，是正確的命題，
∴它的逆否命題也是正確的；
③如圖，圓的方程可化為（x+2）²+y²=9，
∴圓心坐標(biāo)為（-2，0），半徑r=3，
令x=0，則y=±

5

，
設(shè)A（0，

5

），又M（-1，0），∴k_MA=

5

，
∵直線(xiàn)過(guò)第一象限且過(guò)（-1，0）點(diǎn)，∴k＞0，
又直線(xiàn)與圓在第一象限內(nèi)有交點(diǎn)，
∴k＜

5

，
∴k的取值范圍是（0，

5

）；
∴命題③錯(cuò)誤；
④如圖，
顯然，點(diǎn)R在P₁Q₁上時(shí)，|PR|+|QR|的值取到最小，
設(shè)P₁R=x，則Q₁R=5-x，
∴|PR|+|QR|=y=

x2+22

+

(x-5)2+32

（0≤x≤5），
∴當(dāng)x=2時(shí)，y取得最小值5

2

；
∴命題④正確；
所以，以上正確的命題是①②④；
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四種命題、直線(xiàn)與圓以及二面角的知識(shí)，是綜合性題目．