Question

拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在原點(diǎn),它的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn),并與雙曲線(xiàn)的實(shí)軸垂直,已知拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)為(,),求拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的方程.

Answer 1

拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程分別為y²=4x和4x²-y²=1.

解析:

∵交點(diǎn)在第一象限,拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn),其準(zhǔn)線(xiàn)垂直于x軸,

∴可設(shè)拋物線(xiàn)方程為y²=2Px(P>0).

∵點(diǎn)(,)在拋物線(xiàn)上,

∴()²=2P×.∴P=2.

∴y²=4x.

∵y²=4x的準(zhǔn)線(xiàn)為x=-1,且過(guò)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn),

∴-c=-1,c=1.

∴a²+b²=1.①

又∵點(diǎn)(,)在雙曲線(xiàn)上,

∴.②

聯(lián)立①②可得,.

∴4x²-y²=1.

故所求拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程分別為y²=4x和4x²-y²=1.