Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，且過(guò)點(diǎn)（3，-1）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線l：x=-2

2

上，過(guò)P作直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，使得PA=PN，再過(guò)P作直線l′⊥MN，證明：直線l′恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，且過(guò)點(diǎn)（3，-1），建立方程，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（2）分類討論，利用點(diǎn)差法，求出直線的斜率，可得直線的方程，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：由題意知點(diǎn)（3，-1）在橢圓C上，即

9

a2

+

1

b2

=1，①
又橢圓的離心率為

6

3

，所以

c2

a2

=

a2-b2

a2

=（

6

3

）²=

2

3

，②
聯(lián)立①②可解得a²=12，b²=4，
所以橢圓C的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．（5分）
（2）證明：因?yàn)橹本�l的方程為x=-2

2

，設(shè)P（-2

2

，y₀），y₀∈（-

2 3

3

，

2 3

3

），
當(dāng)y₀≠0時(shí)，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），顯然x₁≠x₂，
由

x12

12

+

y12

4

=1，

x22

12

+

y22

4

=1，
作差，又PM=PN，即P為線段MN的中點(diǎn)，
故直線MN的斜率為-

1

3

•

-2 2

y0

=

2 2

3y0

，
又l′⊥MN，所以直線l′的方程為y-y₀=-

3y0

2 2

（x+2

2

），
即y=-

3y0

2 2

（x+

4 2

3

），
顯然l′恒過(guò)定點(diǎn)（-

4 2

3

，0）；
當(dāng)y₀=0時(shí)，直線MN即x=-2

2

，此時(shí)l′為x軸亦過(guò)點(diǎn)（-

4 2

3

，0）．
綜上所述，l′恒過(guò)定點(diǎn)（-

4 2

3

，0）．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．