Question

在三棱椎P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC=AB=

3

，BC=

6

，∠PBA=

π

3

，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是PA、PB、PC上的點(diǎn)并且滿(mǎn)足PD：PA=PE：PB=PF：PC=1：3
（Ⅰ）求證：AB⊥DF；
（Ⅱ）設(shè)平面ABC與平面AEF所成角為θ，求cosθ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明AC⊥AB，PA⊥AB，可得AB⊥平面PAC，即可證明AB⊥DF；
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AC，AB，AP分別為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，求出面AEF的法向量，即可求cosθ的值．

解答： （Ⅰ）證明：在三角形ABC中，AC=AB=

3

，BC=

6

，
∴AC²+AB²=BC²，
∴AC⊥AB，
∵PA⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴PA⊥AB，
∵PA∩AC=A，
∴AB⊥平面PAC，
∵DF?面PAC，
∴AB⊥DF；
（Ⅱ）解：∵AB=

3

，∠PBA=

π

3

，
∴PA=3，
∵PD：PA=PE：PB=PF：PC=1：3
∴PD=PPF=1，PA=PB=PC=3，
以A為原點(diǎn)，AC，AB，AP分別為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，則A（0，0，0），C（

3

，0，0），B（0，

3

，0），E（0，

3

3

，2），F(xiàn)（

3

3

，0，2）
設(shè)平面AEF的法向量為

n

=（x，y，z），則
∵

AE

=（0，

3

3

，2），

AF

=（

3

3

，0，2）
∴

3 3 y+2z=0 3 3 x+2z=0

，∴

n

=（1，1，-

3

6

）．
∵DO⊥平面ABC，
∴平面ABC的法向量為

AP

=（0，0，3）
∵

n

•

AP

=-

3

2

，|

n

|=

5 3

6

，|

AP

|=3，平面ABC與平面AEF所成角為θ，
∴cosθ=|

3 2

5 3 6 •3

|=

1

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查二面角的平面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．