Question

已知函數(shù)f（x）=1-2^-x（x∈R）．
（1）求y=f（x）的反函數(shù)y=f^-1（x）；
（2）求不等式2log₂（x+1）+f^-1（x）≥0的解集．

Answer 1

解：（1）解：由y=1-2^-x得-x=log₂（1-y），即：x=-log₂（1-y），
又∵原函數(shù)的值域是{y|y＜1}，
∴函數(shù)y=1-2^-x（x∈R）的反函數(shù)是y=-log₂（1-x），（x＜-1）．
∴y=f^-1（x）=-log₂（1-x），（x＜-1）．…（6分）
（2）由2log₂（x+1）-log₂（1-x）≥0得（x+1）²≥1-x，（10分）
解得x≥0或x≤-3　　　　　　　　　　　　　　…（12分）
又因為定義域為{x|-1＜x＜1}，所以不等式的解集是{x|0≤x＜1}（14分）
分析：（1）該題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化及反函數(shù)的求法，利用反函數(shù)的定義結(jié)合指對互化即可獲得．
（2）將反函數(shù)的解析式代入不等式，然后根據(jù)對數(shù)運算法則進行化簡變形，求出不等式的解集，注意定義域優(yōu)先的原則．
點評：本題主要考查了反函數(shù)的求解，以及對數(shù)不等式的解法，解題的關(guān)鍵就是定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題．