Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx+m（ω＞0）的周期為π，且對(duì)?x∈R，都有f(x)≤f(

π

12

)=4+m．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁、x₂，求參數(shù)m的范圍，并求這兩個(gè)零點(diǎn)之和x₁+x₂．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的周期為π，得ω=2，設(shè)f（x）=Asin（2x+φ）+m，根據(jù)函數(shù)的最大值為4+m得A=4，最后根據(jù)f(

π

12

)=4+m，建立關(guān)于φ的方程并解之，整理即得f（x）的解析式；
（2）換元法：令t=2x+

π

3

，得方程sint=-

m

4

在區(qū)間[

π

3

，

7π

3

]上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．由此可得m∈（-4，-2

3

）∪（-2

3

，4），再結(jié)合正弦函數(shù)的軸對(duì)稱的性質(zhì)，t₁+t₂=π或t₁+t₂=3π，化簡整理即得兩個(gè)零點(diǎn)之和x₁+x₂的值．

解答：解：（1）∵函數(shù)的周期T=π，∴

2π

ω

=π，得ω=2
因此，設(shè)函數(shù)的解析式f（x）=Asin（2x+φ）+m
∵函數(shù)的最大值為4+m，∴A=4
由題意知，x=

π

12

時(shí)函數(shù)有最大值
∴2×

π

12

+φ=

π

2

+2kπ，得φ=

π

3

+2kπ，（k∈Z）
取k=0，得f（x）的解析式為：f（x）=4sin（2x+

π

3

）+m
（2）∵x∈[0，π]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

3

]
令t=2x+

π

3

，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間[0，π]存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁、x₂，
∴可得

3

2

＜-

m

4

＜1，或-1＜-

m

4

＜

3

2

，解之得m∈（-4，-2

3

）∪（-2

3

，4）
當(dāng)m∈（-4，-2

3

）時(shí)，t₁+t₂=π，即（2x₁+

π

3

）+（2x₂+

π

3

）=π，解之得x₁+x₂=

π

6

；
當(dāng)m∈（-2

3

，4）時(shí)，t₁+t₂=3π，即（2x₁+

π

3

）+（2x₂+

π

3

）=3π，解之得x₁+x₂=

7π

6

．
綜上所述，m的范圍是∈（-4，-2

3

）∪（-2

3

，4），兩個(gè)零點(diǎn)之和x₁+x₂為

π

6

或

7π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分性質(zhì)，要我們確定其解析式并求函數(shù)的零點(diǎn)問題，著重考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．