Question

（2012•蕪湖三模）若存在區(qū)間M=[a，b]（a＜b）使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個(gè)“穩(wěn)定區(qū)間”．給出下列4個(gè)函數(shù)：
①f（x）=e^x     ②f（x）=x³ ③f（x）=cos

πx

2

     ④f（x）=lnx+1
其中存在穩(wěn)定區(qū)間的函數(shù)有

②③

（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析：根據(jù)“穩(wěn)定區(qū)間”的定義，我們要想說(shuō)明函數(shù)存在“穩(wěn)定區(qū)間”，我們只要舉出一個(gè)符合定義的區(qū)間M即可，但要說(shuō)明函數(shù)沒(méi)有“穩(wěn)定區(qū)間”，我們可以用反證明法來(lái)說(shuō)明．由此對(duì)四個(gè)函數(shù)逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案．

解答：解：：①對(duì)于函數(shù)f（x）=e^x 若存在“穩(wěn)定區(qū)間”[a，b]，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故有e^a=a，e^b=b，
即方程e^x=x有兩個(gè)解，即y=e^x和y=x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，這與即y=e^x和y=x的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)相矛盾，故①不存在“穩(wěn)定區(qū)間”．
②對(duì)于f（x）=x³ 存在“穩(wěn)定區(qū)間”，如 x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x³ ∈[0，1]．
③對(duì)于f（x）=sin

π

2

x，存在“穩(wěn)定區(qū)間”，如 x∈[0，1]時(shí)，f（x）=sin

π

2

x∈[0，1]．
④對(duì)于 f（x）=lnx，若存在“穩(wěn)定區(qū)間”[a，b]，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故有l(wèi)na=a，且lnb=b，即方程lnx=x 有兩個(gè)解，
即y=lnx 和 y=x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，這與y=lnx 和 y=x的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)相矛盾，故④不存在“穩(wěn)定區(qū)間”．
故答案為 ②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的概念及其構(gòu)造要求，在說(shuō)明一個(gè)函數(shù)沒(méi)有“穩(wěn)定區(qū)間”時(shí)，利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象結(jié)合反證法證明是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．