Question

在平面上，

AB1

⊥

AB2

，|

OB1

|=|

OB2

|=1，

AP

=

AB1

+

AB2

．若|

OP

|＜

1

3

，則|

OA

|的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：向量的模

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：由題意，A、B₁、P、B₂構(gòu)成一個(gè)矩形AB₁PB₂，以AB₁，AB₂所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)O的坐標(biāo)（x，y）以及點(diǎn)P的坐標(biāo)（a，b）；
求出x²+y²的取值范圍，即可得出|

OA

|的取值范圍．

解答： 解：根據(jù)題意知，A、B₁、P、B₂構(gòu)成一個(gè)矩形AB₁PB₂，
以AB₁，AB₂所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示；
設(shè)|AB₁|=a，|AB₂|=b，點(diǎn)O的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b）；
由|

OB1

|=|

OB2

|=1，得

(x-a)2+y2=1 x2+(y-b)2=1

，則

(x-a)2=1-y2 (y-b)2=1-x2

；
∵|

OP

|＜

1

3

，∴（x-a）²+（y-b）²＜

1

9

，
∴1-y²+1-x²＜

1

9

，
∴x²+y²＞

17

9

；①
又∵（x-a）²+y²=1，
∴y²=1-（x-a）²≤1，
∴y²≤1；
同理x²≤1，
∴x²+y²≤2；②
由①②知

17

9

＜x²+y²≤2，
∵|

OA

|=

x2+y2

，
∴

17

3

＜|

OA

|≤

2

．
故答案為：（

17

3

，

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是較難的題目．