Question

某公司承擔(dān)了每天至少搬運(yùn)280噸水泥的任務(wù)，已知該公司有6輛A型卡車(chē)和8輛B型卡車(chē)．又已知A型卡車(chē)每天每輛的運(yùn)載量為30噸，成本費(fèi)為0.9千元；B型卡車(chē)每天每輛的運(yùn)載量為40噸，成本費(fèi)為1千元．
（1）如果你是公司的經(jīng)理，為使公司所花的成本費(fèi)最小，每天應(yīng)派出A型卡車(chē)、B型卡車(chē)各多少輛？
（2）在（1）的所求區(qū)域內(nèi)，求目標(biāo)函數(shù)z=

y

x+1

的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用

專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）先根據(jù)題意，列出不等式組、目標(biāo)函數(shù)，作出可行域，利用圖象可求公司所花的成本費(fèi)最小，每天應(yīng)派出A型卡車(chē)、B型卡車(chē)；
（2）利用（1）的區(qū)域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與（-1，0）連線(xiàn)的斜率，可求目標(biāo)函數(shù)z=

y

x+1

的最大值和最小值．

解答： 解：（1）設(shè)公司每天派出A型卡車(chē)x輛，B型卡車(chē)y輛，公司所花的成本費(fèi)為z千元，…（1分）
根據(jù)題意，得

30x+40y≥280 0≤x≤6，0≤y≤8，x∈N，y∈N

，目標(biāo)函數(shù)z=0.9x+y，…（3分）
作出該不等式組表示的可行域，如下圖．
…（5分）
考慮z=0.9x+y，變形為y=-0.9x+z，這是以-0.9為斜率，z為y軸上的截距的平行直線(xiàn)族．
經(jīng)過(guò)可行域，平行移動(dòng)直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，7）時(shí)，直線(xiàn)在y軸上的截距最小，即z取最小值，為7…（7分）
答：公司每天派出A型卡車(chē)0輛，B型卡車(chē)7輛時(shí)，所花的成本費(fèi)最低，為7千元．…（8分）
（2）利用（1）的區(qū)域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與（-1，0）連線(xiàn)的斜率，可得函數(shù)在（0，8）處取最大值8，在（6，3）處取最小值

3

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．