Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₁+a₃=4，a₂•a₃=6；等比數(shù)列{b_n}滿足：b₁b₃b₅=64，b₃+b₄=16．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn=

1

4

bn-x•2an，若數(shù)列{c_n}是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，求出等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，即可求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)，根據(jù)數(shù)列{c_n}是遞增數(shù)列，可得3^n-2-x•2ⁿ⁺¹＞3^n-3-x•2ⁿ對(duì)任意的n∈N^*恒成立，化簡分離參數(shù)，即可求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答： 解：（1）∵a₁+a₃=2a₂=4，∴a₂=2，
又∵a₂a₃=6，∴a₃=3，
∴d=1，
∴a_n=n；
∵64=b1b3b5=b33，∴b₃=4，
∵16=b₃+b₄=b₃（1+q），∴q=3，
∴bn=4•3n-3；
（2）由（1）知：cn=3n-3-x•2n．
∵數(shù)列{c_n}是遞增數(shù)列，
∴3^n-2-x•2ⁿ⁺¹＞3^n-3-x•2ⁿ對(duì)任意的n∈N^*恒成立，
∴3^n-2-x•2ⁿ⁺¹＞3^n-3-x•2ⁿ恒成立，
即：2•3^n-3＞x•2ⁿ恒成立，也即x＜

1

4

•(

3

2

)n-3恒成立．
∵y=(

3

2

)n-3是增函數(shù)，
∴[

1

4

•(

3

2

)n-3]min=

1

4

•(

3

2

)-2=

1

4

×

4

9

=

1

9

，
∴x＜

1

9

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．