Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x2 ． （Ⅰ）求函數(shù)h（x）=f（x）﹣x+1的最大值；
（Ⅱ）對于任意x1 ， x2∈（0，+∞），且x1＜x2 ， 是否存在實數(shù)m，使mg（x1）﹣mg（x2）﹣x2f（x2）+x1f（x1）恒為正數(shù)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)h（x）的定義域為（0，+∞）， ∵h（x）=lnx﹣x+1，∴h′（x）= ﹣1= ，
當x∈（0，1）時，h′（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0．
∴h（x）在（0，1）上是單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴h（x）max=h（1）=0，即函數(shù)的最大值為0．
（Ⅱ）若mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）＞0恒成立，只需mg（x2）+x2f（x2）＞mg（x1）+x1f（x1），
設(shè)φ（x）=mg（x）+xf（x）=mx2+xlnx，
又0＜x1＜x2 ， 則只需φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
∴φ′（x）=2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上成立，得2m≤ ，
設(shè)t（x）= ，則t′（x）= ，知函數(shù)t（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，即t（x）min=t（1）=﹣1．
∴存在實數(shù)m≤﹣ ，使mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）恒為正數(shù)
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的定義域、導(dǎo)數(shù)h′（x），由導(dǎo)數(shù)的符號可知函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可得到最大值；（Ⅱ）mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）＞0恒成立，只需mg（x2）+x2f（x2）＞mg（x1）+x1f（x1），設(shè)φ（x）=mg（x）+xf（x）=mx2+xlnx，又0＜x1＜x2 ， 則只需φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．從而有φ′（x）=2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上恒成立，分離出參數(shù)m后化為函數(shù)最值即可，利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的最值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．