Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當(dāng)時(shí)，曲線與軸交于點(diǎn)，證明： .

Answer 1

【答案】(1) （2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

【解析】【試題分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，利用求得斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式得出切線方程.（2）對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)并因式分解，然后對(duì)分類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)性.（3）當(dāng)，由（2）知， ， .構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，由此證明不等式成立.

【試題解析】

(1)當(dāng)時(shí)， ，

=

切線的斜率，又，

故切線的方程為，即.

（2）且,

()當(dāng)時(shí), ,.

當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .

故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

()當(dāng),有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

①當(dāng)時(shí), ,故時(shí), 時(shí)

時(shí), .

故在上均為單調(diào)增函數(shù),在上為減函數(shù).

②當(dāng)時(shí), , ，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), ,故在上為增函數(shù).

③當(dāng)時(shí), .當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí)， 故在上為增函數(shù)，在（1， ）上為減函數(shù)，

綜上所述,當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí), 在

、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 在、上為單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.

（3）當(dāng)，由（2）知， ， .

又.

.

設(shè)則.

當(dāng)時(shí)， 故在上遞減，而故當(dāng)時(shí)， .

又，又在上單調(diào)遞減； .

.