【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=AA1=4,AB=3,AB⊥AC.

(Ⅰ)求證:A1C⊥平面ABC1
(Ⅱ)求二面角A﹣BC1﹣A1的平面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)證明::由已知AA1⊥AB,又AB⊥AC,

∴AB⊥平面ACC1A1,

∴A1C⊥AB,又AC=AA1=4,∴A1C⊥AC1,

∵AC1∩AB=A,∴A1C⊥平面ABC1;

(Ⅱ)解:以A為原點,以AC、AB、AA1所在的直線分別為x、y、z軸,建立空間直角坐標系
,

設(shè) 平面A1BC1,

,取y=4,得 ;

由(Ⅰ)知, 為平面ABC1的法向量,

設(shè)二面角A﹣BC1﹣A1的大小為θ,由題意可知θ為銳角,

即二面角A﹣BC1﹣A1的余弦值為


【解析】(Ⅰ)由線面垂直的判定定理可得出AB⊥平面ACC1A1即得A1C⊥AB,再利用線面垂直的判定定理可得證。(Ⅱ)根據(jù)題意建立空間直角坐標系,分別求出各個點的坐標進而可求出各個向量的坐標,根據(jù)向量的垂直關(guān)系求出平面ABC1的法向量又已知平面ABC1的法向量,利用兩個法向量所成的角即為二面角的平面角,再根據(jù)向量的數(shù)量積運算公式求該角的余弦值即可。
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的判定,掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想即可以解答此題.

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