Question

16．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$bx²+x．
（I）若曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為6x-6y-5=0，求a，b的值；
（Ⅱ）當a=-1時，函數f（x）在（1，+∞）上存在單調遞增區(qū)間，求b的取值范圍；
（Ⅲ）當a≥2時，設x₁，x2是函數f（x）的兩個極值，且f′（x）是f（x）的導函數，如果x₂-x₁=2，x∈（x₁，x₂）時，函數g（x）=f′（x）+2（x-x₂）的最小值為h（a），求h（a）的最大值．

Answer 1

分析 （I）求出導數，求得切線的斜率和切點，運用已知切線方程，解方程即可得到a，b的值；
（Ⅱ）由題意可得f（x）=-$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$bx²+x的導數f′（x）=-x²-bx+1≥0在x＞1成立，運用參數分離和函數的單調性，可得b的范圍；
（Ⅲ）由題意可得x₁，x₂為f′（x）=0的兩根，設f′（x）=a（x-x₁）（x-x₂），g（x）=a（x-x₂）（x-x₁+$\frac{2}{a}$），運用基本不等式求得g（x）的最小值h（a），再由導數判斷h（a）的單調性，即可得到所求最大值．

解答 解：（I）f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$bx²+x的導數為f′（x）=ax²-bx+1，
則f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為a-b+1=1，即a=b，
切點為（1，$\frac{1}{3}$a-$\frac{1}{2}$b+1），即有$\frac{1}{3}$a-$\frac{1}{2}$b+1=$\frac{1}{6}$，
解方程可得a=b=5；
（Ⅱ）當a=-1時，函數f（x）在（1，+∞）上存在單調遞增區(qū)間，
即為f（x）=-$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$bx²+x的導數f′（x）=-x²-bx+1≥0在x＞1成立，
即有b≤$\frac{1}{x}$-x，由$\frac{1}{x}$-x在x＞1遞減，可得$\frac{1}{x}$-x＜0，
則b≤0，即有b的取值范圍是（-∞，0]；
（Ⅲ）由題意可得x₁，x₂為f′（x）=0的兩根，
設f′（x）=a（x-x₁）（x-x₂），
g（x）=a（x-x₁）（x-x₂）+2（x-x₂）=a（x-x₂）（x-x₁+$\frac{2}{a}$），
又x∈（x₁，x₂），a≥2，即有x-x₁+$\frac{2}{a}$＞0，
|g（x）|=|a（x-x₂）（x-x₁+$\frac{2}{a}$）|=a（x₂-x）（x-x₁+$\frac{2}{a}$）
≤a•（$\frac{{x}_{2}-x+x-{x}_{1}+\frac{2}{a}}{2}$）²=a（1+$\frac{1}{a}$）²=a+$\frac{1}{a}$+2．
g（x）≥-（a+$\frac{1}{a}$+2），當且僅當x₂-x=x-x₁+$\frac{2}{a}$，
即x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-$\frac{1}{a}$取得等號．
則h（a）=-（a+$\frac{1}{a}$+2），（a≥2），
當a≥2時，h′（a）=-1+$\frac{1}{{a}^{2}}$＜0，h（a）在a≥2遞減，
當a=2時，取得最大值，且為-$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區(qū)間、極值和最值，考查不等式成立的條件，以及單調性和基本不等式的運用：求最值，考查運算能力，屬于難題．