已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,滿足f(1)=0
(1)若c=1,解不等式f(x)>0
(2)若a>b>c,設(shè)方程f(x)=0的最小根為x0,確定a,c的符號(hào)并求x0的取值范圍.
分析:由f(1)=0得到a,b,c的關(guān)系.
(1)由c=1,把b用a表示,代入f(x)>0得到關(guān)于x的一元二次不等式,然后對(duì)參數(shù)a討論求解不等式的解集;
(2)由a+b+c=0,a>b>c確定a,c的符號(hào),把b=-a-c代入方程f(x)=0后求得x0=
c
a
,然后根據(jù)a,c的范圍得到x0的范圍.
解答:解:∵f(1)=0,∴a+b+c=0,
(1)∵c=1,∴b=-a-1,
由f(x)>0,得ax2-(a+1)x+1>0,
即(ax-1)(x-1)>0,
∵f(x)=ax2+bx+c為二次函數(shù),
∴a≠0.
當(dāng)0<a<1時(shí),不等式解為(-∞,1)∪(
1
a
,+∞)
;
當(dāng)a=1時(shí),不等式解為(-∞,1)∪(1,+∞);
當(dāng)a>1時(shí),不等式解為(-∞,
1
a
)∪(1,+∞)

當(dāng)a<0時(shí),不等式解為(
1
a
,1)

(2)∵a+b+c=0,a>b>c,
∴a+b+c>c+c+c,
∴c<0,
∴a+b+c<a+a+a,
∴a>0,
故a>0,c<0,
∵f(x)=0,
∴ax2+bx+c=0,
∵a+b+c=0,
∴ax2-(a+c)x+c=0,
∴(x-1)(ax-c)=0,
∵a>0,c<0,∴x0=
c
a
,
∵a+b+c=0,a>b>c,
∴a>-a-c>c,
2a>-c
a<-2c

-2<
c
a
<-
1
2
,
x0∈(-2,-
1
2
)
點(diǎn)評(píng):本題考查了含有參數(shù)的一元二次不等式的解法,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系,是中檔題.
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已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn),且滿足f(2)=0,求實(shí)數(shù)m的值.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(diǎn)(0,1),且與x軸有唯一的交點(diǎn)(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)q的取值范圍;
(2)若記區(qū)間[a,b]的長度為b-a.問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時(shí),f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長度為12-t?請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時(shí),函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點(diǎn),并求出極值點(diǎn);
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),且經(jīng)過原點(diǎn),求f(x)的解析式.

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