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如圖,正四棱錐P-ABCD各棱長都為2,點O,M,N,Q分別是AC,PA,PC,PB的中點.

(1)求證:PD∥平面QAC;
(2)求平面MND與平面ACD所成的銳角二面角的余弦值的大。
(3)求三棱錐P-MND的體積.

解:(1)證明:連接BD,OQ,因為點O,Q分別是AC,PB的中點.所以PD∥OQ,因為OQ 在平面QAC內,PD在平面外,所以PD∥平面QAC;
(2)連接PO與MN的交點R與D,因為MN∥AC,PO⊥底面ABCD,又AC⊥BD,所以平面POD⊥AC,所以∠ODR就是要求的平面MND與平面ACD所成的銳角二面角大小,
所以OD=,OR=,所以RD=,所以cos∠ODR==,平面MND與平面ACD所成的銳角二面角的余弦值的大。
(3)三棱錐P-MND的體積,就是D-PMN的體積,所以它的底面面積為:,高為:,它的體積為:=

分析:(1)連接BD,OQ,容易推出PD∥OQ,從而證明PD∥平面QAC;
(2)連接PO與MN的交點R與D,說明∠ODR就是要求的平面MND與平面ACD所成的銳角二面角大小,通過解三角形求出它的余弦值的大。
(3)三棱錐P-MND的體積,轉化為D-PMN的體積,求出高,底面面積即可得到結論.
點評:本題是中檔題,考查棱錐中直線與平面的位置關系,特別是二面角的求法,幾何體的體積的求法,考查空間想象能力,計算能力,轉化思想的應用.
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163
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163

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如圖,正四棱錐P-ABCD中,PA=2,AB=1,M是側棱PC的中點,O為底面正方形的中心.
(1)求證:PA∥平面BDM;
(2)求二面角P-BC-A的余弦值.

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