Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F₁PF₂=

π

3

，記橢圓和雙曲線的離心率分別為e₁，e₂，則

1

e12

+

3

e22

的值為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先設(shè)橢圓的長半軸長為a₁，雙曲線的半實軸長a₂，焦距2c．因為涉及橢圓及雙曲線離心率的問題，所以需要找a₁，a₂，c之間的關(guān)系，而根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用a₁，a₂表示出|PF₁|，|PF₂|，并且|F1F2|=2c，∠F1PF2=

π

3

，在△F₁PF₂中根據(jù)余弦定理可得到：

a12

c2

+

3a22

c2

=4，所以

1

e12

+

3

e22

=4．

解答： 解：如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為a₁，雙曲線的半實軸長為a₂，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：

|PF1|+|PF2|=2a1 |PF1|-|PF2|=2a2

；
∴|PF₁|=a₁+a₂，|PF₂|=a₁-a₂，設(shè)|F₁F₂|=2c，∠F1PF2=

π

3

，則：
在△PF₁F₂中由余弦定理得，4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)•cos

π

3

；
∴化簡得：a12+3a22=4c2，該式可變成：

a12

c2

+

3a22

c2

=4；
∴

1

e12

+

3

e22

=4．
故選D．

點評：考查橢圓及雙曲線的交點，及橢圓與雙曲線的定義，以及它們離心率的定義，余弦定理．