Question

如圖直線l過點（3，4），與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，△ABC的面積為24．點P為線段AB上一動點，且PQ∥QB交OA于點Q．
（Ⅰ）求直線AB斜率的大�。�
（Ⅱ）若S_△PAQ=

1

3

SOQPB時，請你確定P點在AB上的位置，并求出線段PQ的長；
（Ⅲ）在y軸上是否存在點M，使△MPQ為等腰直角三角形，若存在，求出點M的坐標(biāo)； 若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系,三角形的形狀判斷,直線的斜率

專題：

分析：（Ⅰ）設(shè)直線l方程為y-4=k（x-3），易得A（3-

4

k

，0），B（0，4-3k），由三角形的面積公式可得k的方程，解方程可得；
（Ⅱ）可得直線l的方程4x+3y-24=0，B（0，8），由S_△PAQ=

1

3

SOQPB和PQ∥QB可得△PAQ與△ABO相似，可得

PQ

BO

=

1

2

進(jìn)而可得的PQ=4，即P點在線段AB的中點的時候，S_△PAQ=

1

3

SOQPB；
（Ⅲ）設(shè)M（0，b），Q（a，0），則P（a，8-

4

3

a），由題意可知k_MP•k_MQ=-1且b=

1

2

（8-

4

3

a），解方程組可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)直線l斜率不存在時，易知不符合題意．
∴設(shè)直線l方程為y-4=k（x-3），
∵A、B是直線l與x軸、y軸的正半軸的交點，
∴A（3-

4

k

，0），B（0，4-3k），
∴S_△ABO=

1

2

（3-

4

k

）（4-3k）=24，解得k=-

4

3

（Ⅱ）解：由（1）知直線l的方程為：y-4=-

4

3

(x-3)即4x+3y-24=0，
可得此時B的坐標(biāo)為（0，8），∵S_△PAQ=

1

3

SOQPB，
∴S_△PAQ=

1

4

S_△ABO，∴

S△PAQ

S△ABO

=

1

4

，
∵PQ∥QB，∴△PAQ與△ABO相似，
∴

PQ2

BO2

=

1

4

，∴

PQ

BO

=

1

2

，∴PQ=4
∴P點在線段AB的中點的時候，S_△PAQ=

1

3

SOQPB；
（Ⅲ）存在點M（0，

12

5

），理由如下：
設(shè)M（0，b），Q（a，0），則P（a，8-

4

3

a），
由題意可知k_MP•k_MQ=-1且b=

1

2

（8-

4

3

a），
解方程組可得a=b=

12

5

，故存在點M（0，

12

5

）滿足題意．

點評：本題考查直線的一般式方程和垂直關(guān)系，涉及三角形的面積公式和相似問題，屬中檔題．