Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），M是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且滿足

F1M

•

F2M

=0，點(diǎn)N（ 0，3 ）到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為5

2

（1）求橢圓C的方程
（2）設(shè)斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，Q為AB的中點(diǎn)，P(0，-

3

3

)；問A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過點(diǎn)P、Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由M是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且滿足

F1M

•

F2M

=0，可得△F₁F₂M是一個(gè)以M為直角的等腰直角三角形，結(jié)合點(diǎn)N（ 0，3 ）到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為5

2

，求出a，b的值，可得橢圓的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），將A，B兩點(diǎn)代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法，可得x₀+2ky₀=0，根據(jù)對稱的性質(zhì)，可得y₀=-

1

k

x₀-

3

3

，再結(jié)合Q點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，構(gòu)造關(guān)于k的不等式，解不等式可得k的范圍．

解答：解：（1）∵M(jìn)是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且滿足

F1M

•

F2M

=0，
即△F₁F₂M是一個(gè)以M為直角的等腰直角三角形
故橢圓方程可表示為：

x2

2b2

+

y2

b2

=1
設(shè)H（ x，y ）是橢圓上的一點(diǎn)，
則|NH|²=x²+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，其中-b≤y≤b
若0＜b＜3，則當(dāng)y=-b時(shí)，|NH|²有最大值b²+6b+9，
所以由b²+6b+9=50解得b=-3±5

2

（均舍去） 
若b≥3，則當(dāng)y=-3時(shí)，|NH|²有最大值2b²+18，
所以由2b²+18=50解得b²=16
∴所求橢圓方程為

x2

32

+

y2

16

=1
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），Q為AB的中點(diǎn)
∴x₀=

x1+x2

2

，y₀=

y1+y2

2

，
則由

x12 32 + y12 16 =1 x22 32 + y22 16 =1

兩式相減得：x₀+2ky₀=0…①
又由直線PQ⊥l，
∴直線PQ的方程為y=-

1

k

x-

3

3

將Q（x₀，y₀）坐標(biāo)代入得：y₀=-

1

k

x₀-

3

3

…②
由①②得Q（-

2 3

3

k，

3

3

）
而Q點(diǎn)在橢圓內(nèi)部
∴

x02

32

+

y02

16

＜1，即k²＜

47

2

又∵k≠0
∴k∈（-

94

2

，0）∪（0，

94

2

）
故當(dāng)k∈（-

94

2

，0）∪（0，

94

2

）時(shí)，A、B兩點(diǎn)關(guān)于過點(diǎn)P、Q的直線對稱

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓錐曲線，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是高考的壓軸題型，運(yùn)算量大，綜合性強(qiáng)，屬于難題．