Question

18．已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=ax³-$\frac{1}{2}$x-$\frac{2}{3e}$，若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象在交點處存在公切線，則函數(shù)g（x）在（1，g（1））處的切線在y軸上的截距為（　�。�

• A． -$\frac{2}{3e}$
• B． $\frac{2}{3e}$
• C． -$\frac{{e}^{3}+2}{3e}$
• D． $\frac{{e}^{2}+2}{3e}$

Answer 1

分析 設交點為（m，mlnm），分別求出f（x），g（x）的導數(shù)，由題意可得切線的斜率相等且切點重合，得到m，a的方程，消去a，可得1+emlnm=0，令h（x）=1+exlnx，運用求得，判斷單調區(qū)間，即可得到m=$\frac{1}{e}$，進而得到a的值，再求g（x）的導數(shù)和在（1，g（1））處的切線斜率和切點，求得切線方程，令x=0，即可得到所求截距．

解答 解：設交點為（m，mlnm），
函數(shù)f（x）=xlnx的導數(shù)為f′（x）=lnx+1，
g（x）=ax³-$\frac{1}{2}$x-$\frac{2}{3e}$的導數(shù)為g′（x）=3ax²-$\frac{1}{2}$，
由題意可得，1+lnm=3am²-$\frac{1}{2}$，且mlnm=am³-$\frac{1}{2}$m-$\frac{2}{3e}$，
消去a，可得1+emlnm=0，
令h（x）=1+exlnx，h′（x）=e（lnx+1），
當x＞$\frac{1}{e}$時，h′（x）＞0，h（x）遞增；當0＜x＜$\frac{1}{e}$時，h′（x）＜0，h（x）遞減．
即有x=$\frac{1}{e}$處h（x）取得極小值，也為最小值，且為0．
則1+emlnm=0，解得m=$\frac{1}{e}$，
代入1+lnm=3am²-$\frac{1}{2}$，可得a=$\frac{1}{6}$e²．
即有g（x）=$\frac{{e}^{2}}{6}$x³-$\frac{1}{2}$x-$\frac{2}{3e}$，
g′（x）=$\frac{{e}^{2}}{2}$x²-$\frac{1}{2}$，
則在（1，g（1））處的切線斜率為k=$\frac{{e}^{2}-1}{2}$，
切點為（1，$\frac{{e}^{2}}{6}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{3e}$）．
則在（1，g（1））處的切線方程為y-（$\frac{{e}^{2}}{6}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{3e}$）=$\frac{{e}^{2}-1}{2}$（x-1）．
令x=0，可得y=-$\frac{{e}^{3}+2}{3e}$．
故選：C．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程，主要考查導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導數(shù)即為曲線在該點處切線的斜率，同時考查導數(shù)的運用：求最值，正確求導和化簡整理的運算是解題的關鍵．