Question

已知直線l₁：x-y+1=0和直線l₂：2x+y+2=0的交點為P．
（1）求交點P的坐標；
（2）求過點P且與直線2x-3y-1=0平行的直線l₃的方程；
（3）若過點P的直線l₄被圓C：x²+y²-4x+4y-17=0截得的弦長為8，求直線l₄的方程．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立方程即可解出點P的坐標；
（2）設過點P且與直線2x-3y-1=0平行的直線l₃的方程為2x-3y+m=0，把點P（-1，0）代入得-2-0+m=0，解得m即可；
（3）分類討論直線l₄的斜率：①當過點P的直線l₄的斜率存在時，設方程為y-0=k（x+1），則圓心C到直線l₄的距離d=

|2k+2+k|

1+k2

，利用d2+(

l

2

)2=r2，解出k即可．．
②當過點P的直線l₄的斜率不存在時，聯(lián)立

x=-1 (x-2)2+(y+2)2=25

，解出已知即可．

解答：解：（1）聯(lián)立

x-y+1=0 2x+y+2=0

，解得

x=-1 y=0

，∴P（-1，0）；
（2）設過點P且與直線2x-3y-1=0平行的直線l₃的方程為2x-3y+m=0，把點P（-1，0）代入得-2-0+m=0，解得m=2，故所求的方程為2x-3y+2=0；
（3）由圓C：x²+y²-4x+4y-17=0得（x-2）²+（y+2）²=25，得圓心C（2，-2），半徑r=5．
①當過點P的直線l₄的斜率存在時，設方程為y-0=k（x+1），則圓心C到直線l₄的距離d=

|2k+2+k|

1+k2

，
∵d2+(

l

2

)2=r2，∴

(3k+2)2

k2+1

+42=52，化為12k=5，解得k=

5

12

，∴直線l₄的方程為：y=

5

12

(x+1)，化為5x-12y+5=0．
②當過點P的直線l₄的斜率不存在時，聯(lián)立

x=-1 (x-2)2+(y+2)2=25

，解得

x=-1 y=2或-6

．
弦長=2-（-6）=8，滿足條件．
綜上可知：直線l₄的方程為5x-12y+5=0或x=-1．

點評：熟練掌握直線相交問題轉化為方程聯(lián)立、平行線之間的斜率關系、直線與圓相交弦長問題、弦長公式、點到直線的距離公式、分類討論等是解題的關鍵．