Question

【題目】等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知對任意的n∈N*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上．

(1)求r的值；

(2)當(dāng)b＝2時(shí)，記bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，證明：對任意的n∈N*，不等式··…·＞成立．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(1)由題意，Sn＝bn＋r，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝bn－1＋r.

所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)．

由于b＞0且b≠1，

所以n≥2時(shí)，{an}是以b為公比的等比數(shù)列．

又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，

所以＝b，即＝b，解得r＝－1.

(2)由(1)及b＝2知an＝2n－1，因此bn＝2(log2an＋1)＝2n(n∈N*)，

所證不等式為··…·＞.

①當(dāng)n＝1時(shí)，左式＝，右式＝，

左式＞右式，所以結(jié)論成立．

②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即··…·＞，

則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，··…··＞·＝.

要證當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立，只需證≥，

即證≥.

由基本不等式得＝≥成立，

故≥成立，

所以，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．

由①②可知，n∈N*時(shí)，不等式··…·＞成立．