已知函數(shù)f(x)=
lnx
x
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及其極值；
（Ⅱ）證明：對(duì)一切x∈（0，+∞），都有x(x-1)2ex+
x
e
＞lnx成立．
分析：（Ⅰ）求出f′（x）=0時(shí)x的值，然后討論x的取值來決定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可得到函數(shù)極值．
（Ⅱ）由x(x-1)2ex+
x
e
＞lnx恒成立則有(x-1)2ex+
1
e
＞
lnx
x
，即函數(shù)(x-1)2ex+
1
e
的最小值大于等于函數(shù)f(x)=
lnx
x
的最大值證出即可．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=
1-lnx
x2
=0，解得x=e，
又x∈（0，+∞），
當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)．
所以f（x）的極大值為f(e)=
lne
e
=
1
e
；
（Ⅱ）證明：對(duì)一切x∈（0，+∞），
都有x(x-1)2ex+
x
e
＞lnx成立則有(x-1)2ex+
1
e
＞
lnx
x
，
由（Ⅰ）知，f（x）的最大值為f(e)=
1
e
，
并且(x-1)2ex+
1
e
≥
1
e
成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)成立，
函數(shù)(x-1)2ex+
1
e
的最小值大于等于函數(shù)f(x)=
lnx
x
的最大值，
但等號(hào)不能同時(shí)成立．
所以，對(duì)一切x∈（0，+∞），都有x(x-1)2ex+
x
e
＞lnx成立．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及不等式恒成立條件的理解能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實(shí)數(shù)a，b的值：
（2）當(dāng)a＜3時(shí)，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式和切線l的方程；
（2）當(dāng)x∈[
1
e
，e]時(shí)（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，若過兩點(diǎn)（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實(shí)數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當(dāng)1＜a＜2時(shí)，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點(diǎn)P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

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