Question

已知函數(shù)f（x）=sin²（ωx+π）+

3

sinωx•sin（ωx+

5π

2

）（ω＞0）的最小正周期為2π．
（1）求ω的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

4π

3

]上的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，進(jìn)而利用周期公式求得ω．
（2）根據(jù)（1）可求的函數(shù)解析式，進(jìn)而利用x的范圍和三角函數(shù)圖象的性質(zhì)求得函數(shù)在給定區(qū)間上的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=sin²（ωx+π）+

3

sinωx•sin（ωx+

5π

2

）
=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

∵T=

2π

2ω

=2π，
∴ω=

1

2

．
（2）由（1）知，f（x）=sin（x-

π

6

）+

1

2

∵x∈[0，

4π

3

]，
∴-

π

6

≤x-

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（x-

π

6

）≤1
∴0≤sin（x-

π

6

）+

1

2

≤

3

2

即函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

4π

3

]上的取值范圍為[0，

3

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．要求學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的公式及逆用公式，變形公式熟練記憶．