Question

3．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線與直線l：2x+y+2=0垂直，則此雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由雙曲線的漸近線斜率即可計(jì)算該雙曲線的離心率，本題中已知漸近線與直線2x+y+2=0垂直，故$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，再利用c²=a²+b²，e=$\frac{c}{a}$即可得雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
∵漸近線與直線2x+y+2=0垂直，故漸近線的斜率為$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，
即a²=4b²=4（c²-a²），即5a²=4c²，e²=$\frac{5}{4}$
雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，雙曲線漸近線與離心率間的關(guān)系，求雙曲線離心率的一般方法．