Question

已知函數f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

（cos²x-sin²x）-1，x∈R，將函數f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位后得函數g（x）的圖象，
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞減區(qū)間；
（2）設銳角ABC三個角A、B、C的對邊分別為a、b、c．若g（B）=0且

m

=（cosA，cosB），

n

=（1，sinA-cosAtanB），求

m

•

n

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由二倍角的余弦公式和輔助角公式，化簡得f（x）=sin（2x-

π

6

）-1，再結合正弦函數單調區(qū)間的公式和周期公式，即可得到f（x）的最小正周期和單調遞減區(qū)間；
（2）根據函數圖象平移公式，可得g（x）=f（x+

π

6

）=sin（2x+

π

6

）-1，由g（B）=0可解得B=

π

6

，從而得到向量

m

、

n

關于A的坐標形式，得到

m

•

n

=sin（A+

π

6

），最后結合三角形為銳角三角形和正弦函數的圖象與性質，即可算出

m

•

n

的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，得f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1
因此，f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π
令

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，得

π

3

+2kπ≤x≤

5π

6

+2kπ，k∈Z，
∴函數f（x）的單調遞減區(qū)間為[

π

3

+2kπ，

5π

6

+2kπ]，k∈Z
（2）∵將函數f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位后得函數g（x）的圖象，
∴g（x）=f（x+

π

6

）=sin[2（x+

π

6

）-

π

6

]=sin（2x+

π

6

）-1
由此可得g（B）=sin（2B+

π

6

）-1=0，結合B∈（0，

π

2

）可解得B=

π

6

∴

m

=（cosA，cosB）=（cosA，

3

2

），

n

=（1，sinA-cosAtanB）=（1，sinA-

3

3

cosA），
因此，

m

•

n

=cosA+

3

2

（sinA-

3

3

cosA）=

3

2

sinA+

1

2

cosA=sin（A+

π

6

），
∵A∈（0，

π

2

），C=

5π

6

-A∈（0，

π

2

）
∴

π

3

＜A＜

π

2

，得A+

π

6

∈（

π

2

，

2π

3

）
結合正弦函數的圖象與性質，可得sin（A+

π

6

）∈（

3

2

，1）
即

m

•

n

的取值范圍是（

3

2

，1）．

點評：本題給出三角函數式，求函數的單調區(qū)間和周期，并求在閉區(qū)間上的最值，著重考查了三角恒等變換和三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．