Question

如圖，某人在塔的正東方向上的C處在與塔垂直的水平面內沿南偏西
60°的方向前進了40m以后，在點D處望見塔的底端B在東北方向上，已
知沿途塔的仰角∠AEB=a，a的最大值為30°，求塔的高．

Answer 1

分析：要順利求解本題，其關鍵是確定沿AB測塔的仰角，其最大仰角在何處達到，該處與塔底間的距離是多少？只要求得該距離，則在相應的直角三角形中，就不難求得塔高．

解答：解：由題意知，在△DBC中，∠BCD=30°，∠DBC=180°-45°=135°，CD=40，
則∠D=180°-135°-30°=15°，（2分）
由正弦定理得

CD

sin∠DBC

=

BC

sin∠D

，
∴BC=

CD•sin∠D

sin∠DBC

=

40×sin15°

sin135°

=

40× 6 - 2 4

2 2

=

20( 6 - 2 )

2

，（5分）
在Rt△ABE中，tanα=

AB

BE

，（6分）
∵AB為定長，
∴當BE的長最小時，α取最大值30°，這時BE⊥CD，（8分）
當BE⊥CD時，在Rt△BEC中，sin∠BCD=

BE

BC

，
∴BE=BC•sin∠BCD，（9分）
∴AB=BE•tan30°=BC•sin∠BCD•tan30°
=

20( 6 - 2 )

2

•

1

2

•

3

3

=

10(3- 3 )

3

（m）（11分）
答：所求塔高為=

10(3- 3 )

3

m．（12分）

點評：解本題的關鍵是確定何處測得最大仰角，然后轉化成解三角形問題來解決．