【題目】四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，二面角S-BD-C的余弦值為．

（I）證明：平面平面SBD；

（Ⅱ）求二面角A-SD-C的余弦值．

【答案】（I）見解析（Ⅱ）

【解析】

(I) 連接AC，交BD于點(diǎn)O．連接SO易證得,即平面SAO,得到,利用余弦定理解得,由可證得,即可得到平面SBD,即可證得結(jié)論;

(Ⅱ)建系,設(shè)和分別為平面SAD、平面SCD的法向量，求出法向量,利用公式計算即可得出結(jié)果.

（Ⅰ）連接AC，交BD于點(diǎn)O．連接SO菱形ABCD中，，且O是AC和BD的中點(diǎn)．

因?yàn)?/span>，所以，

是二面角S-BD-C的平面角，

即，．

又，所以平面SAC，．

中，由余弦定理知：

．

所以，即，，

又，所以平面SBD，

又平面SAB，所以平面SAB⊥平面SBD．

（Ⅱ）如圖，分別以，為x，y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．

則點(diǎn)，，

，，

，．

設(shè)和分別為平面SAD、平面SCD的法向量，

則由，得，

取，

由，得．

取．

．

故二面角A-SD-C的余弦值為．

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知圓，圓，如圖，分別交軸正半軸于點(diǎn).射線分別交于點(diǎn)，動點(diǎn)滿足直線與軸垂直，直線與軸垂直.

（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；

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【題目】在極坐標(biāo)系中,過曲線外的一點(diǎn)(其中，為銳角)作平行于的直線與曲線分別交于．

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（Ⅱ）若成等比數(shù)列,求的值．

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【題目】如圖，在矩形中，，，分別在線段和上，且，為中點(diǎn)，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面.

（1）求證：平面平面；

（2）點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.

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【題目】已知函數(shù)，其中．

（I）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若R上有兩個不同的零點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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【題目】已知a，b，c為正數(shù)，f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|.

（1）若a＝b＝c＝1，求函數(shù)f（x）的最小值；

（2）若f（0）＝1且a，b，c不全相等，求證：b3c+c3a+a3b＞abc.

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【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在，上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)在處的切線平行于軸，是否存在整數(shù)，使不等式在時恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由．

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【題目】甘肅省是土地荒漠化較為嚴(yán)重的省份，一代代治沙人為了固沙、治沙，改善生態(tài)環(huán)境，不斷地進(jìn)行研究與實(shí)踐，實(shí)現(xiàn)了沙退人進(jìn).年，古浪縣八步沙林場“六老漢”三代人治沙群體作為優(yōu)秀代表，被中宣部授予“時代楷�！狈Q號.在治沙過程中為檢測某種固沙方法的效果，治沙人在某一實(shí)驗(yàn)沙丘的坡頂和坡腰各布設(shè)了個風(fēng)蝕插釬，以測量風(fēng)蝕值.（風(fēng)蝕值是測量固沙效果的指標(biāo)之一，數(shù)值越小表示該插釬處被風(fēng)吹走的沙層厚度越小，說明固沙效果越好，數(shù)值為表示該插釬處沒有被風(fēng)蝕）通過一段時間的觀測，治沙人記錄了坡頂和坡腰全部插釬測得的風(fēng)蝕值（所測數(shù)據(jù)均不為整數(shù)），并繪制了相應(yīng)的頻率分布直方圖.

（Ⅰ）根據(jù)直方圖估計“坡腰處一個插釬風(fēng)蝕值小于”的概率；

（Ⅱ）若一個插釬的風(fēng)蝕值小于，則該數(shù)據(jù)要標(biāo)記“”，否則不標(biāo)記根據(jù)以上直方圖，完成列聯(lián)表：

標(biāo)記

不標(biāo)記

合計

坡腰

坡頂

合計

并判斷是否有的把握認(rèn)為數(shù)據(jù)標(biāo)記“”與沙丘上插釬所布設(shè)的位置有關(guān)？

附：.

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【題目】某廠根據(jù)市場需求開發(fā)三角花籃支架（如圖），上面為花籃，支架由三根細(xì)鋼管組成，考慮到鋼管的受力和花籃質(zhì)量等因素，設(shè)計支架應(yīng)滿足：①三根細(xì)鋼管長均為1米（粗細(xì)忽略不計），且與地面所成的角均為；②架面與架底平行，且架面三角形與架底三角形均為等邊三角形；③三根細(xì)鋼管相交處的節(jié)點(diǎn)分三根細(xì)鋼管上、下兩段之比均為.定義：架面與架底的距離為“支架高度”，架底三角形的面積與“支架高度”的乘積為“支架需要空間”.

（1）當(dāng)時，求“支架高度”；

（2）求“支架需要空間”的最大值.

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