Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=sin²x-+，有下面五個結(jié)論：
①f（x）是奇函數(shù)；
②當(dāng)x＞2012時，f（x）＞恒成立；
③f（x）的最大值是；
④f（x）的最小值是-；
⑤f（x）在[0，]上單調(diào)遞增．
其中正確結(jié)論的序號為     （寫出所有正確結(jié)論的序號）．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意：依次分析命題：①運用f（-x）和f（x）關(guān)系，判定函數(shù)的奇偶性；②取特殊值法，判定不等式是否成立；③④運用sin²x=進行轉(zhuǎn)化，然后利用cos2x和（ ）^|x|，求函數(shù)f（x）的最值，⑤f（x）=1-cos2x-（）^|x|，中，-cos2x，-在[0，]分別遞增，故函數(shù)f（x）在[0，]單調(diào)遞增，綜合可得答案．
解答：解：∵f（x）=sin²x-+，定義域為x∈R，且f（-x）=f（x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，因此結(jié)論①錯．
②對于結(jié)論②，取特殊值當(dāng)x=1000π時，x＞2012，sin²1000π=0，且＞0
∴f（1000π）=，因此結(jié)論②錯．
③又f（x）=-=1-cos2x-（）^|x|，
∵-1≤cos2x≤1，
∴-≤1-cos2x≤，（）^|x|＞0
故1-cos2x-（）^|x|＜，即結(jié)論③錯．
④而cos2x，（）^|x|在x=0時同時取得最大值，
所以f（x）=1-cos2x-（）^|x|在x=0時可取得最小值-，即結(jié)論④是正確的．
⑤由于f（x）=-=1-cos2x-（）^|x|，中，-cos2x，-在[0，]分別遞增，故函數(shù)f（x）在[0，]單調(diào)遞增，故⑤正確
故答案為：④⑤
點評：此題涉及到函數(shù)奇偶性的判斷，同時還涉及到三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的范圍問題，利用不等式的放縮求新函數(shù)的范圍．此題考查了函數(shù)奇偶性的判斷及借助不等式知識對函數(shù)值域范圍進行判斷．