若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=（1+數(shù)學(xué)公式）n，
試證：（1）數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；
（2）2≤an≤3．

證明：（1）an=（1+）n=1+Cn1+Cn2（）2+…+Cnn（）n，an+1=（1+）n+1
=1+Cn+11+Cn+12（）2+…+Cn+1n（）n+1．
可觀察Cn+1k（）k與Cnk（）k，當(dāng)k=0，1時(shí)，
Cn+1k（）k=Cnk（）k；當(dāng)k=2，3，4，，n時(shí)，
Cn+1k（）k＞Cnk（）k．∴an＜an+1，即{an}為遞增數(shù)列．
（2）∵an=（1+）n
=1+Cn1+Cn2（）2++Cnn（）n≥1+Cn1=2，
又an=（1+）n=1+Cn1+Cn2（）2++Cnn（）n≤2+++…+=3-＜3．
分析：（1）由題設(shè)條件知an=1+Cn1+Cn2（）2+…+Cnn（）n，an+1=（1+）n+1
=1+Cn+11+Cn+12（）2+…+Cn+1n（）n+1．由此可知an＜an+1，即{an}為遞增數(shù)列．
（2）由題意知an=1+Cn1+Cn2（）2++Cnn（）n≥1+Cn1=2，由此可知an=1+Cn1+Cn2（）2++Cnn（）n≤2+++…+=3-＜3．
點(diǎn)評(píng)：解：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
a
 
n
=5×(
2
5
)2n-2-4×(
2
5
)n-1(n∈N+)，{an}的最大值為第x項(xiàng)，最小項(xiàng)為第y項(xiàng)，則x+y等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
4x+2
（x∈R）．
（1）已知點(diǎn)(1，
1
6
)在f（x）的圖象上，判斷其關(guān)于點(diǎn)(
1
2
，
1
4
)對(duì)稱的點(diǎn)是否仍在f（x）的圖象上；
（2）求證：函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(
1
2
，
1
4
)對(duì)稱；
（3）若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=f(
n
m
)（m∈N*，n=1，2，…，m），求數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和Sm．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=
1
4x+2
(x∈R)，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是函數(shù)y=f（x）圖象上兩點(diǎn)，且線段P1P2中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是
1
2
．
（1）求證點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是定值； 
（2）若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=f(
n
m
)（m∈N*），n=1，2…m），求數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和Sm； 
（3）在（2）的條件下，若m∈N*時(shí)，不等式
am
Sm
＜
am+1
Sm+1
恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2003•北京）若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=
3-n+(-1)n3-n
2
，n=1，2，…，則
lim
n→∞
(a1+a2+…+an)等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•寶山區(qū)一模）若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=3-n+(-2)-n+1，則 
lim
n→∞
(a1+a2+…+an)=
7
6
7
6
．

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