Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

5

3

，設(shè)其左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點(diǎn)為B₁，△B₁F₁F₂的面積為2

5

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)（2，0）作直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)

OS

=

OA

+

OB

，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對(duì)角線相等（即|

OS

|=|

AB

|）？若存在，求出直線l的方程，若不存在，試說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得S△B1F1F2=

1

2

×2c×b=2

5

，e=

c

a

=

5

3

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）若存在l，使得|

OS

|=|

AB

|，則四邊形OASB為矩形，設(shè)l的方程為y=k（x-2），由

y=k(x-2) x2 9 + y2 4 =1

，得（9k²+4）x²-36k²x+36（k²-1）=0，由此利用韋達(dá)定理能求出存在直線l：3x-2y-6=0或3x+2y-6=0，使得四邊形OASB的對(duì)角線相等．

解答： 解：（Ⅰ）∵△B₁F₁F₂的面積為2

5

，∴S△B1F1F2=

1

2

×2c×b=2

5

，
又∵e=

c

a

=

5

3

，解得c²=5，a²=9，b²=4，
∴橢圓方程為

x2

9

+

y2

4

=1．…（5分）
（Ⅱ）∵

OS

=

OA

+

OB

，∴四邊形OASB為平行四邊形，
若存在l，使得|

OS

|=|

AB

|，則四邊形OASB為矩形，
∴

OA

•

OB

=0．（7分）
若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由

x=2 x2 9 + y2 4 =1

，得

x=2 y=± 2 5 3

，
∴

OA

•

OB

=

16

9

＞0，與

OA

•

OB

=0矛盾，故l斜率存在   …（8分）
若l的斜率存在，設(shè)l的方程為y=k（x-2），
由

y=k(x-2) x2 9 + y2 4 =1

，得（9k²+4）x²-36k²x+36（k²-1）=0，
依題意△＞0恒成立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x1+x2=

36k2

9k2+4

，x1x2=

36(k2-1)

9k2+4

，①
y₁y₂=[k（x₁-2）][k（x₂-2）]=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=-

20k2

9k2+4

，②…（11分）
把①、②代入x₁x₂+y₁y₂=0，得k=±

3

2

，
∴直線l的方程為y=±

3

2

(x-2)，即3x-2y-6=0或3x+2y-6=0，
綜上，存在直線l：3x-2y-6=0或3x+2y-6=0，
使得四邊形OASB的對(duì)角線相等．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓、直線方程、韋達(dá)定理，向量等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．