Question

已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓和雙曲線的離心率互為倒數(shù)，它們在第一象限交點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線（其中為整數(shù)）.

（1）試求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，與雙曲線交于不同兩點(diǎn)，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓為： ，雙曲線為：（2）存在，滿足條件的直線共有9條.

【解析】

試題分析：（1）將點(diǎn)代入即可求出橢圓的方程，通過橢圓的離心率求出雙曲線的離心率，聯(lián)立離心率和雙曲線的方程，求出；（2）因?yàn)橹本�與橢圓交于不同兩點(diǎn)，所以聯(lián)立直線和橢圓方程，消去，整理方程即可.

試題解析：（1）將點(diǎn)代入解得

∴橢圓為： ，                                        （2分）

橢圓的離心率為∴雙曲線的離心率為，               （3分）

∴，

∴雙曲線為：                                         （6分）

（2）由消去化簡整理得：

設(shè)，，則

      ①                      （8分）

由消去化簡整理得：

設(shè)，，則

      ②                      （10分）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091800251940095871/SYS201309180027059791627819_DA.files/image028.png">，所以，

由得：．

所以或．由上式解得或．

當(dāng)時(shí)，由①和②得．因是整數(shù)，

所以的值為

當(dāng)，由①和②得．因是整數(shù)，所以．

于是滿足條件的直線共有9條．                                   （13分）

考點(diǎn)：1.求橢圓、雙曲線的方程.